مهمترین اعضای بتن آرمه تحت خمش تیرها و دال های بتنی هستند. البته ستون های بتنی نیز تحت ترکیب نیروی محوری و لنگر خمشی هستند که در مقاله طراحی ستون بتنی به طور کامل به آموزش مفاهیم مربوط به آن ها پرداختیم. در این مقاله جامع می خواهیم به بررسی مفاهیم و آموزش طراحی تیر بتنی به صورت دستی و نرم افزاری در نرم افزار ایتبس مطابق با آیین نامه ACI318-19 و مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش سال 1399 خواهیم پرداخت.
تیرها در سازه نقش باربری اساسی دارند و معمولا بارهای وارده را از سقف ها میگیرند و به ستونها منتقل میکنند. بارهای وارد شده به تیر در شکل نیروهای برشی، محوری و لنگر خمشی ظاهر میشود. تیرهای بتنی یا به طور صحیح تر تیرهای بتن آرمه متشکل از بتن و میلگردهای فولادی است. میلگردهای استفاده شده برای کمک به جبران مقاومت کششی بتن است. در این مقاله تلاش بر این بوده است که طراحی تیر بتن آرمه برای انواع نیروهای وارده بر اساس مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 و ACI-318-2019 به صورت دستی و نرم افزاری آموزش داده شود. در فصول با عنوان طراحی دستی علاوه بر اشاره کوتاهی به مفاهیم اولیه و تئوری های استفاده شده در روابط موجود در آیین نامه های قابل قبول، به جزئیات طراحی آرماتور و نحوه چینش آن ها پرداخته ایم. در این مقاله چون صرفا طراحی کاربردی تیر بتن آرمه از مجموعه آموزش طراحی سازه بتنی مورد هدف ما بوده است مفاهیم اولیه خیلی خلاصه بیان شده است بنابراین توصیه بنده به شما این است که اگر به مفاهیم اولیه حاکم بر طراحی تیر های بتن آرمه تسلط کافی ندارید جهت بهربرداری حداکثر از این مقاله مروری بر این مفاهیم در مراجع معتبر داشته باشید. در فصل انتهایی این مقاله نحوه مدلسازی تیر بتن آرمه با نرم افزار ETABS و طراحی دستی آرماتور گذاری آن به همراه نقشه اجرایی آن آورده شده است.
سرفصلهای این مقاله
- طراحی دستی تیر بتن آرمه تحت خمش
- طراحی دستی تیر بتن آرمه تحت برش و پیچش
- نکات تکمیلی پیرامون طراحی تیر بتن آرمه
- طراحی نرم افزاری تیر بتن آرمه به همراه حل دستی
طراحی تیر بتنی تحت خمش
در این فصل ابتدا خلاصه کوتاهی از تئوری خمش در تیرهای بتنی بیان خواهیم کرد. سپس بند های مربوطه در آیین نامه را به همراه توضیحات آورده ایم. از مباحث مهم دیگر طراحی در تیرهای بتن آرمه تحت خمش می توان به مقاطع T شکل و فلسفه آرماتور فشاری اشاره کرد که این مباحث در فصل سوم این مقاله (نکات تکمیلی پیرامون طراحی تیر بتن آرمه) آورده شده است.
مفاهیم اساسی و تئوری خمش در مقاطع مستطیلی
همانطور که در پیشگفتار اشاره کرده ایم در مقاطع بتن آرمه از آرماتور فولادی برای افزایش مقاومت کششی استفاده میشود. بنابراین هنگامی که لنگر خمشی به مقطع بتنی وارد میشود قسمتی از مقطع تحت فشار و قسمتی هم تحت کشش قرار می گیرد. در قسمتی از مقطع که تحت خمش قرار گرفته است بتن به تنهایی قادر به تحمل تنش وارده دارد اما در قسمتی از آن که تحت کشش قرار گرفته است بتن به دلیل ضعف در مقاومت کششی قادر به تحمل این تنش نبوده و از آرماتور به عنوان مصالح مسلح کننده بتن استفاده می شود. در نهایت این کشش و فشار به مقطع صورت کوپل نیرو بتن و آرماتور در مقابل لنگر وارد شده از خود مقاومت نشان میدهد.
محدوده رفتار مقطع خمشی بر اساس لنگر وارد بر آن به سه دسته الاستیک، الاستوپلاستیک و پلاستیک تقسیم می گردد. در طراحی سازه بتنی تمایل طراحان سازه برای مقاطع بتن آرمه به سمتی است که حداکثر لنگر خمشی در محدوده پلاستیک اتفاق بیفتد. شکل های زیر دیاگرام نیرویی مقطع بتن آرمه را در حالت الاستیک و الاستوپلاستیک نشان میدهد در انتها شرح طراحی پلاستیک مقطع به صورت کامل تر آورده شده است.
تئوری پلاستیک خمش در مقطع مستطیلی
تئوری خمش در تیرهای بتن آرمه بر اساس روابط تعادل استاتیکی حاکم بر تنشها و نیروهای داخلی مقطع و نیز بر اساس همساز بودن تغییر شکل های مقطع بنا شده است. بر اساس این قانون مجموع مقدار فشار در بتن به صورت قدر مطلق با مجموع مقدار کشش در میلگرد های فولادی برابر است.
همانطور که در شکل زیر مشاهده میکنید فشار در قسمت مختلف متفاوت است و نمودار تنش-کرنش بتن یک نمودار درجه دو است. برای ساده سازی روابط با اعمال ضرایبی بر ارتفاع مقطع فشاری بتن و مقاومت مشخصه بتن، معادل سازی برای مقطع فشاری مستطیلی صورت میگیرد که بلوک تنش معادل ویتنی (Whitney Stress Block) نام دارد.
دو ضریب کاهشی برای مقطع معادل بلوک ویتنی انتخاب شده است:
1) ضریب کاهش مقاومت مشخصه (α0): این ضریب مطابق آیین نامه مبحث نهم مقررات ملی ساختمان بند 9-8-2-2-7 بر اساس مقاومت مشخصه بتن و از روابط زیر محاسبه میشود:
2) ضریب تعیین نسبت عمق بلوک مستطیلی تنش معادل به عمق محور خنثی در مقطع (β1): این ضریب هم مطابق آیین نامه مبحث نهم مقررات ملی ساختمان بند 9-8-2-2-6 بر اساس مقاومت مشخصه بتن و از روابط زیر محاسبه میشود:
بر اساس ضرایب بالا می توان نتیجه گرفت که نیروی فشاری مقطع بتنی C از رابطه زیر محاسبه میشود:
C: نیروی فشاری مقطع بتنی بر حسب نیوتون
α0: ضریب کاهش مقاومت مشخصه بتن در بلوک فشاری مستطیلی معادل (بند 9-8-2-2-7)
fc: مقاومت مشخصه بتن بر حسب مگاپاسکال
c: ارتفاع مقطع فشاری بتن (فاصله تارخنثی تا دورترین تار فشاری) بر حسب میلی متر
β1: ضریب تعیین نسبت عمق بلوک مستطیلی تنش معادل به عمق محور خنثی در مقطع (بند 9-8-2-2-6)
b: عرض موثر مقطع بتنی بر حسب میلی متر
بر اساس روابط استاتیکی حاکم بر مقطع باید فشار و کشش مقطع با یکدیگر برابر باشند. لذا داریم:
FX =0⇒C-T=0∑
C: نیروی فشاری مقطع بتنی بر حسب نیوتون
T: نیروی کششی آرماتورها
مقدار مقاومت خمشی مقطع از رابطه زیر محاسبه میگردد:
M=C×Z=T×Z
Z در رابطه بالا فاصله بین دو نیرو است که مقدار آن در حالت پلاستیک مقطع بتنی تحت خمش برابر d-a/2 می باشد.
a: عمق بلوک مستطیلی تنش معادل بر حسب میلی متر
d: فاصله دورترین تار فشاری بتن از مرکز ثقل آرماتورهای کششی بر حسب میلی متر
فرضیات مهم استفاده شده در تئوری خمش در مقطع بتنی در بند های زیر از مبحث نهم مقررات ملی ساختمان در ادامه آورده شده است.
خلاصه نکات و فرضیات طراحی تیر بتنی به شرح زیر است:
- در هر مقطع لازم است تعادل بین نیروهای موثر برقرار گردد.
- کرنش در تارهای مقطع بتنی و نیز در فولاد ها به صورت خطی متناسب با فاصلهی آن تار یا فولاد از محور خنثی تعیین میشود.
- کرنش حداکثر در دورترین تار فشاری بتن برابر با 0.003 در نظر گرفته میشود.
- از مقاومت کششی بتن صرفه نظر میگردد.
- رابطه بین تنش و کرنش فشاری بتن را میتوان با بلوک مستطیلی معادل تقریب زد.
فولاد متوازن مقطع
Asb یا وضعیت فولاد متوازن مقطع وضعیتی است که دقیقا گسیختگی در بتن فشاری زمانی رخ میدهد که فولاد کششی به نقطه تسلیم برسد. همانطور که در شکل زیر هم مشاهده میکنید؛ کرنش فشاری لحظه گسیختگی بتن εcu=0.003 در نظر گرفته می شود.
با نوشتن تشابه مثلث نمودار کرنش ها مقدار Cb را میتوان محاسبه کرد.
Cb: ارتفاع مقطع فشاری در حالت متوازن بر حسب میلی متر
εcu: کرنش فشاری در لحظه گسیختگی بتن
fy: تنش تسلیم فولاد بر حسب مگاپاسکال
Es: مدول الاستیسته فولاد که مقدار آن 200000 مگا پاسکال میباشد.
d: فاصله مرکز سطح فولاد های کششی تا دورترین تار فشاری
اگر مقادیر کرنش بتن و مدول الاستیسته فولاد را در معادله بالا جایگذاری کنیم و نهایتا فرمول را بر اساس تعادل مقطع بنویسیم.
Asb: مساحت فولاد حالت متوازن مقطع بر حسب میلی متر مربع
fc: مقاومت مشخصه بتن بر حسب مگاپاسکال
fy: تنش تسلیم فولاد بر حسب مگاپاسکال
β1: ضریب کاهش ارتفاع مقطع فشاری بتن
نوع گسیختگی عضو خمشی بر اساس مقدار فولاد مقطع به دو صورت شکل پذیر و ترد تقسیم میشود. در گسیختگی مقطع شکل پذیر مقدار نیرو لازم برای جاری شدن میلگردهای مقطع کمتر از گسیختگی فشاری بتن است اما در مقطع ترد، شکست کششی بتن قبل از جاری شدن میلگرد ها اتفاق میافتد.
مود گسیختگی شکلپذیر به دلایل زیر برای ما مطلوب تر است:
- وجود تغییر شکل زیاد قبل از گسیختگی زنگ خطری برای شکست است که امکان تخلیه محل را به ساکنین میدهد.
- افزایش شکل پذیری در قاب خمشی، جذب انرژی را در مقابل بارهای ارتعاشی نظیر زلزله بالا میبرد.
- شکل پذیری اعضا، امکان باز توزیع لنگر را در قاب خمشی فراهم میکند.
مرز بین رفتار ترد و شکل پذیر را میزان ” فولاد متوازن “ مینامند که آن را با Asb نشان میدهند. بنابراین در طراحی ها مقدار فولاد مقطع را از فولاد متوازن کمتر انتخاب میکنیم.
مقاومت خمشی طراحی تیر بتن آرمه
طراحی خمش در مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 به روش ضرایب بار و مقاومت صورت می گیرد.
بنا بر بند 9-8-2 مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 مقدار مقاومت خمشی نهایی حاصل ضرب مقاومت خمشی اسمی در ضریب کاهش مقاومت محاسبه می شود.
Mu≤φMn
Mu: مقاومت طراحی مورد نیاز
∅: ضرایب کاهش مقاومت خمشی
Mn: مقاومت اسمی مقطع
محاسبه مقاومت طراحی مورد نیاز Mu
برای محاسبه مقدار مقاومت طراحی مورد نیاز Mu از ترکیب بار های معرفی شده در مبحث ششم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1398 بند 6-2-3-2 استفاده میکنیم.
بنابر بند 6-3-2-2 مبحث ششم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1398 در طراحی به روش ضرائب بار و مقاومت، سازه ها، اعضا و شالوده های آنها باید به گونه ای طراحی شوند که مقاومت طراحی آنها، بزرگتر یا برابر با اثرات ناشی از ترکیب بارهای ضریب دار در تصویر بالا باشد. برای اطلاعات بیشتر در این زمینه به مقاله ترکیبات بارگذاری مراجعه کنید.
محاسبه ضریب کاهش مقاومت ∅
برای محاسبه مقدار ضرایب کاهش مقاومت خمشی ∅، باید به این نکته اشاره کرد که بر اساس مقدار آرماتور کششی، مقاطع فولادی به دو دسته تحت مسلح و فوق مسلح تقسیم میشوند. اگر میزان فولاد مقطع از فولاد متوازن مقطع بیشتر باشد مقطع را فوق مسلح و اگر از فولاد متوازن کمتر باشد تحت مسلح می نامیم. هر چه مقدار فولاد کششی کمتر شود مقدار کرنش آن بیشتر خواهد شد. ضریب کاهش مقاومت خمشی با میزان کرنش فولاد متغیر است اگر میزان کرنش آرماتور کششی از 0.005 بیشتر شود مقدار ضریب کاهش مقاومت به حداکثر خود یعنی 0.9 می رسد در شکل زیر مقدار ضریب کاهش مقاومت برای کرنش های مختلف رسم شده است و در ادامه روابط آن از آیین نامه آورده شده است.
بنابر جدول 9-7-2 مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 ضریب کاهش مقاومت خمشی بر اساس مقدار فولاد مسلح شده در بازه های متفاوتی قرار میگیرد برای درک بهتر آن در ادامه توضیحاتی آورده شده است.
εt: کرنش کششی خالص در دورترین فولاد کششی مقطع
مقاطع کشش کنترل
تعریف مقطع کشش کنترل از دیدگاه مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 به قرار زیر است:
مقاطع فشار کنترل
تعریف مقطع فشار کنترل از دیدگاه مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 به قرار زیر است:
مقاطع در ناحیه انتقال
تعریف مقطع در ناحیه انتقال از دیدگاه مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 به قرار زیر است:
محاسبه مقاومت خمشی اسمی تیر بتنی Mn
پس از محاسبه مقدار خمش نهایی و ضریب کاهش مقاومت نوبت به محاسبه مقاومت خمشی اسمی مقطع و طراحی آن میرسد.
Mu=φMn
با استفاده از تجربه در ابتدا ابعادی را برای مقطع حدس میزنیم که در ادامه بیشتر با این مورد آشنا خواهیم شد. فرمول هایی که برای طراحی آرماتور های مقطع از آن ها استفاده خواهیم کرد به شرح زیر میباشد:
Mn: مقاومت اسمی مقطع بر حسب مگاپاسکال
b:عرض مقطع مستطیلی بر حسب میلی متر
d: فاصله مرکز سطح فولاد های کششی تا دورترین تار فشاری بر حسب میلی متر
f’c: مقاومت مشخصه بتن بر حسب مگاپاسکال
fy: تنش تسلیم فولاد بر حسب مگاپاسکال
As: مساحت لازم برای فولاد کششی مقطع مورد نظر بر حسب میلی متر
با داشتن مقدار آرماتور کششی مورد نیاز بر اساس مساحت میلگرد، تعداد میلگرد های مقطع محاسبه میشود اما طراحی صرفا به اینجا ختم نمی شود بلکه فرضیاتی که در رابطه با ضریب کاهش مقاومت و تسلیم فولاد کششی شده است باید کنترل بشود و علاوه بر آن روابط دیگری از جمله حداقل و حداکثر فولاد کششی برای مقطع وجود دارد که باید رعایت شود. در قسمت بعدی محدودیت های آیین نامه ای را بیان خواهیم کرد.
حداقل آرماتور خمشی تیر بتنی
مقدار مساحت فولاد کششی که در قسمت قبل محاسبه شد باید از بند های زیر پیروی کند. بنابر بند 9-11-5-1-1 مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 حداقل آرماتور خمشی، A(smin) ، باید در تمامی مقاطع عضو خمشی که نیاز به میلگرد کششی باشد، تامین گردد. این حداقل مقدار آرماتور در تیر بتنی به شرح زیر است:
بنابر بند 9-11-5-1-3 مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 حداقل آرماتور خمشی، A(s,min) ، زمانی میتوان چشم پوشی کرد که 3AS<A(s,min) برقرار باشد.
حداکثر آرماتور خمشی تیر بتنی
بنابر بند 9-20-6-2-2-1 مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 نسبت فولاد مقطع، ρ(s,max) ، برای فولاد با تنش تسلیم 420 مگاپاسکال و کمتر، 0.025، و برای فولادهای با حد تسلیم 520 مگاپاسکال بیشتر از 0.02 است.
for fy≤420 MPa ρ(s,max)=0.025
for fy≥520 MPa ρ(s,max)=0.020
حداقل دو میلگرد با قطر 12 میلی متر باید هم پایین و هم در بالای مقطع در سراسر طول پیش بینی شوند و هم چنین بنابر بند 9-20-6-2-2-2 مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 در بر تکیهگاه های تیر، مقاومت خمشی مثبت مقطع در هر تکیه گاه باید حداقل برابر نصف مقامت خمشی منفی همان مقطع باشد.
به طور خلاصه مراحل طراحی دستی تیر بتنی تحت خمش طبق الگوریتم زیر انجام می شود:
طراحی دستی تیر بتنی تحت برش و پیچش
همانطور که در پیشگفتار گفته شد از جمله نیروهایی که به تیر وارد میشود و ضرورت طراحی آن برای تیر ها وجود دارد نیروهای برش و پیچش تیر است. برای افزایش ظرفیت برشی تیر آرماتور عرضی کمک کننده هستند. برای خمش نیز صرفا آرماتور های طولی تاثیر گذارند. اما برای پیچش هم آرماتور طولی و هم عرضی موثر اند به همین دلیل ابتدا مقدار آرماتور طولی خمشی مورد نیاز و سپس مقدار آرماتور عرضی برشی مورد نیاز محاسبه شده و سپس پیچش تیر بررسی می گردد.
طراحی تیر بتنی تحت برش
در مقابله با تنش های برشی وارده به مقطع، هم بتن مقطع و هم میلگرد های عرضی دخالت دارند به همین دلیل مقاومت برشی مقطع مستطیلی بتنی ترکیب خطی از مقاومت برشی بتن و فولاد است. در تیر ها ابتدا طراحی خمشی تیر صورت میگیرد و پس از تعیین ابعاد تیر و آرماتور های طولی، به میلگرد های عرضی برای مقابله با برش مسلح میشود. به طور کلی طراحی برش بر اساس روش ضرایب بار و کاهش مقاومت از رابطه زیر است:
Vu≤φVn
در رابطه بالا که از بند 9-8-1 آورده شده است مقاومت برشی اسمی مقطع Vn و ضریب کاهش مقاومت ∅ که مقدار آن برابر با 0.75 و Vu برش نهایی است. در یک تیر بتنی بدون فولاد جان مقاومت برشی بتن بر اساس اولین ترک مورب تعیین میشود.
بنابر بند 9-8-4-1-2 مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش سال 1399 مقاومت برشی یک طرفهی اسمی مقطع ،Vn، به صورت زیر تعیین می شود.
Vn=Vc+Vs
در این رابطه Vc و Vs به ترتیب مقاومت های تعیین شده توسط بتن و فولاد های برشی در مقطع هستند که بر اساس بخش های بعدی این مقاله تعیین میشوند. پیش از شروع طراحی مقطع برای برش رابطه ای در آیین نامه تحت عنوان کفایت برشی مقطع آورده شده است که بهتر از پیش از طراحی این رابطه کنترل بشود تا در صورت عدم ارضای آن مجددا ابعاد مقطع انتخاب شود. برش نهایی، Vu، مانند خمش نهایی از ترکیب بار های آورده شده از مبحث ششم مقررات ملی ساختمان ویرایش سال 1398 استفاده می شود.
مقاومت برشی بتن
اکنون نوبت به محاسبه مقاومت برشی تعیین شده بتن میرسد. در این قسمت علاوه بر اساس اینکه مقدار فولاد عرضی استفاده شده از مقدار حداقل آن، کمتر یا بیشتر است روابطی برای محاسبه Vc معرفی شده است.
Vc: مقاومت برشی تعیین شده بتن
λ: ضریب تصحیح جهت انعکاس مشخصات مکانیکی بتن کاهش یافته که برای بتن معمولی 1 است.
ρw: چگالی فولاد مقطع که از تقسیم مساحت آرماتور طولی کششی استفاده شده بر bwd بدست میآید.
f’c: مقاومت مشخصه بتن بر حسب مگاپاسکال
Nu: بار محوری وارده به مقطع که در فشار مثبت و در کشش منفی منظور میگردد.
Ag: مساحت سطح ناخالص یک مقطع بتنی
d: فاصله مرکز سطح فولاد های کششی تا دورترین تار فشاری بر حسب میلی متر
bw: عرض موثر جان مقطع
بنابر بند 9-8-4-4-2 مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 اگر از حداقل فولاد عرضی، مقدار کمتری فولاد عرضی در مقطع گذاشته باشیم از رابطه ساده 9-8-13 استفاده کنید.
تمامی پارامتر ها در قسمت بالا معرفی شده است به جز ضریب λs از رابطه زیر تعیین میشود:
ماکسیمم و مینیمم مقدار مقاومت برشی بتن از بند زیر تعیین میشود:
پس از محاسبه مقاومت برشی تعیین شده بتن چندین حالت پیش خواهد آمد:
1) اگر برش نهایی از مقدار مقاومت برشی بتن با احتساب ضریب کاهش 0.75 بیشتر باشد: در این حالت باید آرماتور عرضی طراحی شود.
2) اگر برش نهایی از نصف مقدار مقاومت برشی بتن با احتساب ضریب کاهش 0.75 کمتر باشد: نیازی به آرماتور عرضی نیست.
3) اگر برش نهایی از مقدار مقاومت برشی بتن با احتساب ضریب کاهش 0.75 کمتر باشد: حداقل آرماتور عرضی باید تامین شود مگر اینکه ضوابط جدول 9-11-2 مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 وجود داشته باشد.
بنابر جدول 9-11-2 مبحث نهم مقررات ملی ساختمان ویرایش 1399 که در ادامه آورده شده است، اگر برش نهایی از مقدار مقاومت برشی بتن با احتساب ضریب کاهش 0.75 کمتر باشد و همچنین یکی از شرایط بالا برای تیر برقرار باشد نیازمند آرماتور عرضی حداقل نیستیم.
به طور خلاصه برای تعیین مقاومت برشی یک تیر بتن آرمه می توان از الگوریتم زیر استفاده کرد: