در این مقاله قصد داریم ضمن معرفی فلسفه ایجاد این نیروهای اضافی ناشی از اثر پی-دلتا، به نحوه محاسبه اون با روش‌های تقریبی و دقیق بپردازیم. در نهایت هم چگونگی اِعمال اثر پی دلتا در ایتبس و نکات مربوط به اون رو شرح میدیم.
سرفصل‌های مقاله
مفاهیم مربوط به اثر P-Delta
اثر پی دلتا چیست؟
به طور کلی در آیین‌نامه‌ها اثر P-Delta رو با عنوان آثار اضافی بارها و یا آثار مرتبه دوم ازش نام می‌برن، اما این عبارات یعنی چی؟
بیایین فرض کنیم مطابق شکل زیر، یک ستون داریم که هم تحت بار محوری فشاری P قرارداره و هم تحت نیروی جانبی V قرار گرفته. ترسیم شکل تغییریافته این ستون تحت این بارها رو میشه با کمی دقت انجام داد. حتماً موافقین که ستون تحت بار جانبی میتونه تغییرشکلی به اندازه Δ داشته باشه که از روش های تحلیل سازه خطی به صورت تقریبی و تحلیل غیر خطی سازه به صورت دقیق قابل محاسبه هست و همچنین تحت نیروی محوری P، کمی اصطلاحاً شکم بده و نسبت به راستای اصلی خودش تغییرمکانی به اندازه δ داشته باشه.
خب تا اینجا با اتفاقی که داره در اثر اِعمال نیروهای ثقلی (P) و جانبی (V) میوفته آشنا شدیم. از اینجا به بعد قصد داریم به بررسی این موضوع بپردازیم که این اتفاق (اثر پی-دلتا) چه تاثیری روی تحلیل و طراحی سازه میذاره.
تقسیم‌بندی انواع اثر پی-دلتا
با توجه به مطالبی که گفته شد دیدیم که در شکل تغییریافته ستون پس از بارگذاری ثقلی و جانبی دو تغییرمکان ∆ و δ بوجود میاد. این تغییرمکان‌ها با توجه به نیروهایی که همچنان داره به سازه وارد میشه باعث ایجاد بارهای اضافی‌ای میشن که در ادامه بیشتر در موردشون صحبت میکنیم.
در مبحث دهم مقررات ملی ساختمان، اثر P-Delta به نام “آثارمرتبه دوم” نام‌گذاری شده و به اون بارهای اضافی‌ای که در اثر این اتفاق به سازه تحمیل میشه میگن “آثاراضافی بارها”. شکل زیر، بند مربوط به تعریف اثر پی-دلتا در مبحث دهم رو نشون میده.
خب حالا بریم سراغ این مطلب که چجوری این اتفاق می‌افته؟ و بارهای اضافی چیا هستن؟
- یادآوری:
همونطور که از درس استاتیک در خاطرتون هست، هرگاه یک نیرو با یک فاصله، نسبت به یک نقطه مبداء وارد بشه، این نیرو حول اون نقطه ایجاد لنگر میکنه. درسته؟ (مانند شکل زیر)
اثر ∆-P (پی-دلتای بزرگ)
فرض کنید در شکل زیر قصد داریم لنگر واردشده در تکیه‌گاه رو بدست بیاریم، پس حتماً موافقین که در اینجا علاوه بر لنگری که نیروی جانبی V در تکیه‌گاه بوجود میاره و مقدارش برابر VH هست، یک لنگر اضافی دیگه‌ای هم به پای این ستون وارد میشه. چه لنگری؟!
لنگری ناشی از نیروی محوری ستون یا بهتره بگیم ناشی از نیروی ثقلی(P) وارده به ستون که مقدار اون ∆P هست.
پس تا اینجای کار متوجه شدیم که تحت این تغییرمکان جانبی ایجاد شده (∆) در ستون یک لنگر اضافی‌ای به مقدار ∆P به پای ستون وارد میشه. (علاوه بر لنگر VH)
آیا تنها لنگر اضافی‌ای که در ستون ایجاد میشه ∆P هست؟!
اثر P-δ (پی-دلتای کوچک)
جواب سوال بالا اینه که خیر، اگر بخواهیم کمی دقیق‌تر بررسی کنیم علاوه بر تغییرمکان جانبی ∆،کمی هم انحناء یا اصطلاحاً شکم دادگی در ستون داریم که اون رو با δ نشون میدیم. این تغییرمکان δ در واقع مقدار فاصله‌ای هست که ستونِ خم شده، نسبت به خط فرضی ستون در حالت غیرخم شده در هر نقطه از طول خودش داره. به عنوان مثال در شکل زیر δ شکم دادگی مربوط به وسط طول ستون هست. بنابراین از ضرب این تغییرمکان‌های δ در نیروی ثقلی P، لنگرهای خمشی اضافی‌ای در خود ستون بوجود میاد که دلیلش همون انحنا یا شکم‌دادگی ستون هست. (لازمه این رو هم بدونید که اثر پی-دلتای کوچک یا همون P-δ معمولاً در ستون‌های لاغر (با ارتفاع زیاد) قابل توجه و بحرانی میشه)
مقدار لنگرهای اضافی ایجاد شده
برای درک بهتر اینکه هر کدام از آثار اضافی (پی-دلتای کوچک و بزرگ) به چه اندازه میتونه در یک عضو لنگرخمشی رو اضافه کنه بهتره شکل زیر رو مشاهده کنید.
همونطور که در شکل بالا مشاهده می‌کنید سهم لنگر هر قسمت به تفکیک مشخص شده و در نهایت لنگر وارده به این عضو با Mtotal نمایش داده شده است.
ستون‌های لاغر و چاق
بر اساس مفاهیمی که در خصوص اثر پی-دلتا ذکر شد، ما می‌تونیم ستون‌ها رو به دو دسته کلی تقسیم‌بندی کنیم:
1.ستون‌های چاق
آن دسته از ستون‌هایی که با در نظرگرفتن اثرات مرتبه دوم (منظور همان لحاظ کردن اثرات پی-دلتا هست) مقدار کاهش ظرفیت‌شون (مقاومت ستون) کمتر از 5 درصد باشه. در این ستون‌ها میشه از اثر پی-دلتا صرفنظر کرد.
2.ستون‌های لاغر
آن دسته از ستون‌هایی که اثر لنگر ثانویه در اون‌ها قابل توجه باشه و در صورتی که این اثر رو در نظرنگیریم ظرفیت ستون به مقدار زیادی کاهش پیدا کنه. در این ستون‌ها بایستی اثر پی-دلتا منظور بشه.
⇐ نکته:
برای تعیین میزان لاغری یک ستون، ضریبی رو با نام ضریب لاغری تعریف میکنیم که به وسیله رابطه زیر محاسبه شده و با λ نمایشش میدیم:
این ضریب در واقع نشان‌دهنده میزان کمانش‌پذیری یک ستون هست. به این معنی که هر چه مقدار این ضریب بیشتر باشه، احتمال کمانش ستون بیشتر بوده و در نتیجه اثر ∆-P هم در ستون جدی‌تر خواهد بود به نحوی که:
استفاده از ستون‌های با لاغری بیشتر از 200 مجاز نمی‌باشد. ( 200<λ)
نحوه اِعمال اثر پی-دلتا در ایتبس
ما به دو صورت می‌تونیم این اثر رو در طراحی سازه منظور کنیم.
- استفاده از روش‌های تقریبی استاندارد 2800 با لحاظ کردن یک ضریب افزایشی
- استفاده از روش دقیق با نرم‌افزارهای تحلیل و طراحی سازه مانند ایتبس
⇐ نکته:
در صورتی که ضریب لاغری یک ستون بیشتر از عدد 100 باشه، استفاده از روش تقریبی خطای زیادی داشته و نمیشه از این روش استفاده کرد. بنابراین در این گونه ستون‌ها ( 100<λ ) حتماً بایستی با استفاده از روش نرم‌افزاری اثر پی-دلتا رو درنظرگرفت.
محاسبه اثر پی-دلتا با استفاده از روش تقریبی استاندارد 2800
همونطور که در بخش قبلی توضیح دادیم وارد شدن بار ثقلی در یک سازه که تحت بار جانبی تغییرمکان میده، میتونه نیروهایی اضافی به سازه تحمیل کنه و اسم این اثر رو گذاشتیم اثر پی-دلتا.
فرض کنید این لنگر اضافی رو با δM نشون بدیم بنابراین داریم:
∆δM=P
همونطور که از درس استاتیک به یاد داریم می‌تونیم این لنگر اضافی ایجاد شده پای ستون رو به صورت یک کوپل نیرو معادل سازی کنیم. یعنی این لنگر δM رو مطابق شکل زیر، به صورت دو نیروی برشی اضافی δV ایجاد شده در طبقه در نظربگیریم.
بنابراین داریم:
تعریف شاخص پایداری:
در بند 3-6 استاندارد 2800 ویرایش چهارم، رابطه‌ای با عنوان شاخص پایداری طبقه تعریف میشه که اون رو با نام θ نشون میدن.
اگر کمی به رابطه شاخص پایداری دقت کنیم متوجه میشیم که بسیار شبیه به رابطه‌ای هست که در بالا بدست آوردیم با این تفاوت که فقط کافیه در مخرج کسر نیروی برشی طبقه (V) رو اضافه کنیم به این صورت:
*نتیجه: بنابر رابطه فوق میشه اینطور نتیجه گرفت که، پارامتر θ نشان دهنده تغییرات برش ( δV ) نسبت به برش اولیه ( V ) هست.
همانطور که در بخش‌های قبلی نیز گفتیم برش اولیه V باعث ایجاد تغییرمکان ∆ میشه، بنابراین می‌تونیم بگیم که: برش اضافیِ δV نیز باعث ایجاد تغییرمکان اضافه‌ای به اندازه 1∆ میشه. لذا داریم:
سوال: اما آیا تنها همین تغییرمکان اضافیِ 1∆ به سازه اِعمال میشه؟
جواب: خیر- اضافه شدن این تغییرمکان 1∆، مجدد باعث ایجاد لنگر اضافه‌تری در پای ستون میشه و درنتیجه طبق صحبتی که کردیم دومرتبه یک نیروی برشی اضافیِ جدید اضافه میشه و به همین ترتیب این داستان ادامه داره …. یعنی داریم:
همینطور که مشاهده می‌کنید، تغییرمکان‌هایی اضافیِ جدید در اثر افزایش تغییرمکان در مرحله قبل، رخ میده و این موضوع باعث ایجاد یک سری ریاضی از تغییرمکان‌ها میشه که اگر بخواهیم مقدار تغییرمکان جانبی کلی (T∆ ) این ستون رو بدست بیاریم داریم:
در نهایت استاندارد 2800 نیز در بند 3-6 اشاره میکنه که به این صورت میتونید تغییرمکان افزایش یافته جانبی نسبی رو محاسبه کنید.
نکته:البته لازمه این نکته رو هم بدونین که این تغییرمکان نسبی ناشی از تحلیل خطی است و در صورتی که بخواهیم تغییرمکان واقعی (غیرخطی) نسبی طبقه رو محاسبه کنیم باید این تغییرمکان رو در ضریب بزرگنمایی تغییرمکان ( Cd ) ضرب کنیم.( m∆ تغییرمکان جانبی نسبی غیرخطی، تغییرمکان نسبی واقعی طبقه)
روشی که در اینجا اشاره کردیم مطابق پیوست سوم استاندارد 2800 هست. مطابق این پیوست برای محاسبه لنگر و برش اضافی نیز میشه از حدِ همین سری در بینهایت استفاده کرد به این ترتیب که:
( i∆ لنگر اولیه و برش iV اولیه وارده می‌باشد)
⇐ نکته:
اگر دقت کنید ضریب 1/1-θ یک ضریب افزایشی بوده و باعث افزایش تغییرمکان، لنگر و برش اولیه میشه. در واقع کاری که ما در این روش انجام میدیم اینه که: برای درنظرگرفتن اثر پی-دلتا، مقادیر نیروها و تغییرمکان‌ها رو در یک ضریب افزایشی ضرب میکنیم تا مقدارشون رو افزایش بدیم.
مقدار θ در استاندارد 2800
استاندارد 2800 برای محاسبه مقدار θ رابطه زیر که برحسب مقدار هست رو پیشنهاد کرده است. همچنین تاکید کرده که این مقدار رو به عنوان مقدار حداکثر درنظرگرفته که نبایستی از 0.25 بیشتر بشه.
بنابراین برای (شاخص پایداری طبقه) محاسبه شده سه محدوده زیر رو خواهیم داشت:
- اگر 0.1>θ آن‌گاه میتوان از اثر ∆-P صرفنظر کرد.
- اگر 0.1<θmax>θ آن‌گاه بایستی اثر پی-دلتا رو در محاسبه نیروها و تغییرمکان‌ها، همانند روشی که توضیح داده شد با استفاده از ضریب افزایشی 1/1-θ (روش تقریبی) و یا روش دقیق که در ادامه بهش اشاره میکنیم در نظرگرفت.
- اگر θmax<θ آن‌گاه سازه ناپایدار خواهد بود و بایستی با افزایش سختی عناصر باربرجانبی و دیگر روش‌ها سازه رو پایدار کرد.
استفاده از نرم‌افزار جهت درنظرگرفتن اثر پی-دلتا (روش دقیق)
همانطور که می‌دونیم همیشه در یک سازه وزن اجزای ساختمان مثل دال بتنی سقف به عنوان یکی از نیروی‌های ثقلی، به تمامی المان‌هایِ سازه از جمله ستون‌ها وارد میشه. در صورتی که سازه تحت نیروی جانبی قراربگیره و دچار تغییرمکان بشه، نیروهای ثقلی وارده به ستون‌ها میتونه باعث ایجاد آثار اضافی (تغییرمکان، لنگر و برش) بشه.
- سوال: آیا نیروهای ثقلی وارده به ستون‌ها تنها شامل وزن ساختمان میشه؟
- جواب: خیر- این نیروهای ثقلی شامل بارمرده (وزن المان‌ها)، بار زنده، بارزنده تیغه بندی (بارزنده پارتیشن) و بار برف میشه.
اثر پی دلتا در نرم افزار ایتبس
برای این‌کار بایستی پس از تعریف تمامی بارهای وارده به سازه، از منوی Define به قسمت تنظیمات پی‌دلتا وارد بشیم. (مانند تصویر زیر)
در مرحله بعدی وارد پنجره مربوط به تنظیمات پی-دلتا میشیم.
همانطور که مشاهده میشه در شکل زیر در قسمت بالای این پنجره سه تا گزینه برای انتخاب وجود داره.
None: در صورتی که بخواهیم از اثر پی-دلتا صرفنظر کنیم از این گزینه استفاده میکنیم. ( θ<0.1 )
None-iterative-Based on Mass: در صورتی که بخواهیم اثر پی-دلتا رو صرفاً برمبنای وزن اختصاص یافته به اعضاء و بدون محاسبه روند تکراریِ پی-دلتا لحاظ کنیم، از این گزینه استفاده میشه. در واقع این روش برای زمانی کاربرد داره که شما بارهاتون رو معرفی نکرده باشین. استفاده از این گزینه سرعت تحلیل رو بالاتر میبره چرا که روند تکراری بررسی اثر پی-دلتا رو نداره ولی از دقت کافی برخوردار نیست. بنابراین توصیه میشه که پس از معرفی بارها در نرم افزار از گزینه سوم استفاده بشه.
iterative-Based on Load: در صورتی که بخواهیم اثر پی-دلتا رو بر مبنای ترکیب بارهای ثقلی (شامل بار مرده، زنده و برف) در نظربگیریم گزینه سوم رو انتخاب میکنیم.
ترکیب بار p-delta
همان طور که توضیح داده شد در صورتی که بخواهیم اثر پی-دلتا رو بر مبنای ترکیب‌بارهای ثقلی شامل بارهای مرده، زنده و برف وارد کنیم گزینه سوم در پنجره تنظیمات رو انتخاب میکنیم. (مانند تصویر زیر)
- سوال: ضرایب ترکیب بارها در پنجره تنظیمات پی-دلتا چگونه تعیین میشه؟
- جواب: این ضرایب براساس ترکیب بار سنگین لرزه‌ای تعیین میشه.
⇐ نکته: (علت استفاده از ترکیب بار سنگین لرزه‌ای):
همانطور که گفته شد اثر پی-دلتا زمانی بحرانی میشه که سازه تحت یک نیروی جانبی مثل زلزله یا باد قراربگیره. بنابراین باید ترکیب باری رو انتخاب کرد که حداقل دارای یکی از نیروهای جانبی (مانند زلزله یا باد) باشه.
همچنین از دو ترکیب بار شامل بار زلزله در مبحث ششم مقررات ملی ساختمان، ترکیب باری رو انتخاب میکنیم که قسمت ثقلی اون از نظرعددی بیشتر باشه. بنابراین ترکیب بار سنگین لرزه‌ای انتخاب میشه.
همانطور که در تصویر بند مربوط به ترکیب بارهای حالت حدی مقاومت در مبحث ششم (ویرایش 96) مشاهده می‌کنید و همچنین با توجه به اینکه عموماً در ساختمان‌های رایج بار زلزله رو به عنوان بار جانبی در نظرمی‌گیریم، ترکیب بار شماره 5 به عنوان ترکیب بار اثر پی-دلتا وارد میشه.
نکات مهم:
- در سازه‌های فولادی بار مربوط به کف‌سازی (Super Dead) نیز باید با ضریب بار مرده (1.2) در ترکیب‌بارهای مربوط به اثر پی-دلتا لحاظ بشه.
- بار زنده کاهش یافته (5) نیز در این ترکیب بار بایستی با ضریب 0.5 وارد بشه. البته برخی از مهندسین در جهت اطمینان این ضریب رو همان عدد 1 قرارمیدن.
جمع‌بندی:
- بارهای ثقلی در سازه‌های دارای تغییرمکان جانبی، آثارِ نیرویی و تغییرمکانیِ اضافه‌ای رو به سازه تحمیل میکنه که بهش آثار مرتبه دوم یا اثر پی-دلتا میگیم.
- اثر پی-دلتا یک پدیده مخرب و پیش‌رونده بوده و با توجه به بررسی شاخص پایداری طبقه، در صورت لزوم بایستی تأثیر اون در طراحی سازه لحاظ بشه.
- به طور کلی دو روش برای درنظر گرفتن اثر پی-دلتا وجود داره:1- استفاده از روش تقریبی استاندارد 2800 و 2- استفاده از روش دقیق با نرم افزار Etabs
- اثر پی-دلتا موجب افزایش نیروها و تغییرمکان‌ها شده که در استاندارد 2800 به صورت یک ضریب افزایشی و در نرم افزار به صورت دقیق محاسبه میشه.
- درنظرگرفتن اثر پی-دلتا به خصوص در مورد اعضای لاغر، مهم و حیاتی است.
منابع
- مبحث ششم مقررات ملی ساختمان، ویرایش سال 1396.
- آیین‌نامه طراحی ساختمان‌ها در برابر زلزله – استاندارد 2800- ویرایش چهارم
- پایگاه دانش فنی شرکت CSI
- مبحث دهم مقررات ملی ساختمان، ویرایش سال 1392.
