مفاهیم مرکز جرم و مرکز سختی از موارد مهم برای طراحی یک ساختمان می باشد که لزوم توجه به آن ها از نظر هیچ طراح سازه ای پوشیده نیست. نیروی زلزله به مرکز جرم در هر طبقه وارد می شود و عکس العمل سازه به نیروی زلزله در محلی به نام مرکز سختی سازه پدید می آید. مرکز جرم و مرکز سختی از عوامل مهم در طراحی سازه ها می باشند و تطابق یا نزدیکی آن ها به یکدیگر می تواند تاثیر مثبتی در رفتار سازه ایجاد کند. لذا به کمک آیین نامه و قضاوت مهندسی بر آنیم تا شناخت درستی از مرکز جرم و سختی داشته باشیم. در این مقاله به بررسی این مفاهیم پرداخته و نحوه محاسبه این موارد را به صورت دستی و توسط نرم افزار ایتبس می پردازیم.
سرفصل‌های این مقاله
- تعریف مرکز جرم و مرکز سختی
- تاثیر مرکز جرم و مرکز سختی بر رفتار سازه
- توصیه ها و الزامات آیین نامه و خصوصیات مرکزجرم و مرکز سختی
- محاسبه مرکز جرم و مرکز سختی در نرم افزار ایتبس
- مثال هایی جهت درک بهتر مرکز جرم و مرکز سختی
تعریف مرکز جرم و مرکز سختی
مرکز جرم Center Of Mass
در علم فیزیک، مرکز جرم نقطه ای است به نمایندگی از کل جسم یا تمام ذرات موجود در یک سیستم که می تواند بیانگر حرکت جسم باشد. در هنگام وقوع زلزله، برآیند نیروهای جانبی وارد بر هر طبقه در یک نقطه در نظر گرفته می شود که به آن مرکز جرم می گوییم.
مرکز جرم به سمتی متمایل می شود که جرم بیشتری وجود دارد و توزیع جرم در تمامی جهات در مرکز جرم یکسان است.
به شکل زیر دقت کنید : یک میله با وزن یکسان در تمامی طول آن را مجسم کنید. بدیهی است که مرکز جرم این جسم در وسط آن قرار دارد.
همانطور که از شکل پیداست ، توزیع جرم در تمامی جهات در مرکز جرم یکسان است.
پیشنهاد مطالعاتی: زلزله چیست؟
پیشنهاد دوره آموزشی: آموزش پروژه محور طراحی سازه فولادی و بتنی با ایتبس و سیف
محاسبه مرکز جرم
مرکز جرم به طور کلی نقطه ای در فضای سه بعدی می باشد که دارای 3 مولفه X ،Y و Z می باشد. اما برای ساده سازی و درک بهتر، می خواهیم با یک مثال ساده از چند جسم که بر روی یک خط قرار گرفته اند و تنها به واسطه داشتن مولفه X، مرکز جرم این اجسام را حساب کنیم.
مرکز جرم برای جسم شکل بالا از رابطه زیر محاسبه می شود:
پارامترهای مورد استفاده در این رابطه عبارتند از :
Rcm: مرکز جرم
mi: جرم هر جسم
ri: مختصات هر جسم
در این مثال فرض می شود جرم اجسام برابر با 2 کیلوگرم باشد.
در مثال فوق مرکز جرم در فاصله 1.23 متری از m1 قرار دارد.
مرکز سختی Center of Rigidity
با مراجعه به آیین نامه 2800 ویرایش چهارم صفحه (خ) در می یابیم که مرکز سختی (صلبیت) طبقه، نقطه ای است در طبقه که چنانچه برآیند نیروی برشی طبقه در آن نقطه وارد آید، طبقه تنها تغییر شکل جانبی انتقالی داشته باشد و هیچ گونه پیچش در آن مشاهده نشود. به بیان ساده تر عکس العمل نیروهایی که به مرکز جرم وارد می شوند در نقطه ای به نام مرکز سختی به وجود می آید.
محاسبه مرکز سختی
برای محاسبه مرکز سختی از رابطه ی زیر استفاده می کنیم:
پارامترهای مورد استفاده در این رابطه عبارتند از :
Xcr و Ycr: مختصات مرکز سختی
Kxi: سختی جانبی عضو i ام در امتداد محور x
Kyi: سختی جانبی عضو i ام در امتداد محور y
xi و yi: مختصات مرکز عضو i ام
با توجه به فرمول مرکز سختی، سختی هر المان تاثیر به سزایی در مختصات مرکز سختی دارد.
تاثیر مرکز جرم و مرکز سختی بر رفتار سازه
فاصله بین مرکز جرم و مرکز سختی تاثر بسزایی بر رفتار سازه دارد و همانطور که در تعریف مرکز سختی مشاهده کردیم، در خلال طراحی سازه در ایتبس باید از پیچش در سازه جلوگیری کنیم زیرا در صورت وجود پیچش، جابجایی های افقی در یک کف در نقاط مختلف یکپارچه و برابر نبوده و بدین ترتیب سازه دچار عملکرد نامناسب خواهد شد و مستعد خرابی میشود. برای آشنایی بیشتر با نامنظمی پیچشی و تاثیر فاصله مرکز جرم و سختی بر آن ویدیو زیر برگرفته از پکیج طراحی سازه پاراپلاس با موضوع نامنظمی پیچشی در ادامه برای استفاده شما آورده شده است:
به این منظور لازم است مرکز سختی و مرکز جرم بریکدیگر منطبق باشند تا نیروی های وارده و عکس العمل آن ها در یک نقطه اثر کنند. در ادامه با کمک شکل های زیر درک بهتری از مرکز جرم و مرکز سختی خواهیم داشت.
در شکل بالا سمت راست به واسطه توزیع یکنواخت و منظم المان ها در پلان و سختی یکسان آن ها در هر جهت، مرکز جرم و مرکز سختی بر یکدیگر منطبق شده اند. در شکل سمت چپ به دلیل تفاوت سختی المان ها و غیرمتقارن بودن آن ها، این المان ها مانند آهن ربا مرکز سختی را به سمت خود می کشانند. در نتیجه مرکزجرم و مرکز سختی بر هم منطبق نیستند و از هم فاصله دارند.
حال توجه شما را به شکل های زیر جلب می کنیم:
از مقایسه این شکل ها در می یابیم که هر چقدر پلان و سیستم باربر جانبی در حالت متقارن باشند و سختی المان ها یکسان باشد، از ایجاد پیچش در سازه جلوگیری می شود.همچنین فاصله ی زیاد بین مرکز جرم و مرکز سختی به دلیل آن که نیرو و عکس العمل نیرو در دو نقطه متفاوت اثر میکنند، این موضوع باعث ایجاد نامنظمی پیچشی در سازه می شود که در صورتی که این مقدار از محدوده ی مجاز آیین نامه فراتر رود، شامل جریمه هایی برای طراحی سازه می شویم که منجر به طرحی غیراقتصادی می گردد و وزن سازه را بالا می برد.
توصیه ها و الزامات آیین نامه در خصوص مرکز جرم و مرکز سختی
با توجه به مطالب ارائه شده در بخش های قبلی ملاحظه نمودیم که عدم تقارن المان ها و سیستم باربر جانبی (دیوار برشی، مهاربند فولادی، تیر و ستون) در سازه می تواند سبب دور شدن مرکز جرم و سختی از یکدیگر شده و سبب پیچش در سازه شوند.
هم اکنون این سوال مطرح می شود که آیا به هیچ وجه نباید مرکز جرم و مرکز سختی را از هم دور کرد؟ آیا در هر ساختمانی می توانیم مرکز جرم و مرکز سختی را برهم منطبق کنیم؟ در ادامه با بررسی بندهای آیین نامه در خصوص مرکز جرم و مرکز سختی، پاسخ سوالات مطرح شده را میابیم.
فاصله مرکز جرم و مرکز سختی
با مراجعه به بند 1-5-5 استاندارد 2800 ویرایش چهارم که بیان می کند:
عناصر مقاوم در برابر نیروهای افقی زلزله به صورتی در نظر گرفته شوند که پیچش ناشی از این نیروها در طبقات به حداقل برسد. برای این منظور مناسب است فاصله مرکز جرم و مرکز سختی در هر طبقه در هر امتداد، کمتر از 5 درصد بعد ساختمان در آن امتداد باشد.
میخواهیم توصیه این بند را در پلان شکل زیر بررسی کنیم:
طول ساختمان در راستای X وY به ترتیب برابر 11 و 10.2 متر و فاصله مرکز جرم و مرکز سختی در راستای X وY به ترتیب برابر 1 و 0.75 متر میباشد که برای هر دو راستا این فاصله بیشتر از 5 درصد بعد سازه در همان امتداد میباشد در این بند به عناصر مقاوم در برابر نیروهای افقی زلزله ( تیر، ستون، دیوار برشی، مهاربند و …) توجه می کند که باید به صورت متقارن در طبقات توزیع و جانمایی شوند تا پیچش را به حداقل برسانند. نکته ای که نباید از آن غافل شد این است که این بند از آیین نامه یک توصیه است و اجبار و الزامی از سوی آیین نامه درباره آن مطرح نشده است. چه بسا کاملا گویاست اگر این بند رعایت شود در نهایت کمک شایانی به عدم پیچش درسازه میکند.
استاندارد 2800 برای استفاده از روش های سریع و ساده سازی شده تحلیل، الزاماتی را بیان کرده است که توجه به مرکز جرم و مرکز سختی را یادآور شده است.
آیین نامه 2800 در بند 3-13-2 روش ساده شده تحلیل (مانند تحلیل استاتیکی خطی) را تنها در مورد ساختمان هایی که تمام شرایط زیر را دارا باشند، می توان به کار برد:
- سیستم باربر جانبی یعنی دیوارهای برشی و یا دهانه های مهاربندی شده در هر امتداد ساختمان، حداقل در دو محور قرار گرفته باشد و هر یک از این محورها در یک طرف مرکز جرم ساختمان باشد. ضمنا امتداد محورهای مذکور با محورهای متعامد اصلی ساختمان بیشتر از 15 درجه زاویه نداشته باشد.
- در هر طبقه فاصله بین مرکز جرم و مرکز سختی در هر یک از دو امتداد متعامد ساختمان از 20% بعد ساختمان در آن امتداد بیشتر نباشد.
جهت استفاده از روش های تحلیل سازه (مانند تحلیل استاتیکی) این دو بند که در بالا به آن ها اشاره شد یک الزام بوده و باید رعایت شوند.
در ادامه الزامات و محدودیت هایی که در ارتباط با مرکز جرم و مرکز سختی در استاندارد 2800 وجود دارند را به جهت ارائه ی یک طرح اقتصادی و مهندسی بیان شده اند را با هم مرور خواهیم کرد.
- از موارد مهم مرتبط با موضوع مرکز جرم در استاندارد 2800، بحث مربوط به ضریب نامعینی می باشد که در بند 3-3-2-2الف به آن اشاره شده است.
3-3-2-2-الف- در ساختمان ها منظم در پلان، در طبقاتی که برش در آنها از 35 درصد برش پایه تجاوز می کند، حداقل دو دهانه سیستم مقاوم جانبی در هر سمت مرکز جرم، در هر دو امتداد عمود برهم، موجود باشد. در سیستم های دارای دیوار برشی تعداد دهانه ها از تقسیم طول دیوار بر ارتفاع آن در طبقه به دست می آید.
اگر الزامات مربوط به این بند را رعایت نشود، مطابق استاندارد2800، باید نیروی زلزله ای که برای طراحی در نظر می گیریم را 20 درصد افزایش دهیم که منجر به غیراقتصادی شدن طرح سازه ای خواهد شد.
- باتوجه به این که عدم تطابق مرکز جرم و مرکز سختی سبب ایجاد نامنظمی پیچشی در سازه می شود، بنابراین استاندارد 2800 برای محاسبه پیچش ایجاد شده توسط نیروی زلزله را مورد توجه قرار داده و برای محاسبه آن اینچنین بیان میکند:
3-3-7-2 لنگر پیچشی ایجاد شده در طبقه i، در اثر نیروهای جانبی زلزله، از رابطه زیر به دست می آید:
که در این رابطه:
eij: برون مرکزی نیروی جانبی طبقه j نسبت به مرکز سختی طبقه i، فاصله افقی مرکز جرم طبقه j و مرکز سختی طبقه i
eaj: برون مرکزی اتفاقی طبقه j، موضوع بند
Fuj: نیروی جانبی در تراز طبقه j
- نحوه توزیع نیروی برشی زلزله در پلان ساختمان موضوع بند 3-13-3-3 استاندارد 2800 می باشد که در ادامه به آن می پردازیم :
با توجه به صلب بودن دیافراگم ها، نیروهای جانبی محاسبه شده طبق بند (3-13-3-2) در ترازهای مختلف در محل مرکز جرم طبقه به ساختمان اعمال شده و سازه تحلیل می شود. در این حالت نیروی برشی ایجاد شده طبقات به همراه اثر ناشی از پیچش ایجاد شده به علت برون مرکزی مراکز جرم و سختی ، به تناسب سختی بین عناصر مختلف سیستم مقاوم در برابر نیروهای جانبی توزیع می گردد.
در مورد بام ساختمان هایی که از نوع سبک یا شیب دار می باشند، نیروی جانبی باید با توجه به توزیع جرم در سقف به سازه اعمال شود و توزیع آن بین عناصر مختلف سیستم مقاوم در برابر نیروهای جانبی با توجه به صلبیت نسبی دیافراگم انجام شود.
محاسبه مرکز جرم و مرکز سختی در ایتبس
برای استخراج مرکز جرم و مرکز سختی در نرم افزار ETABS یک سازه 4 طبقه با سیستم باربر جانبی قاب خمشی در هر دو جهت در نظر گرفته ایم. پلان سازه و نمای سه بعدی سازه طبق شکل زیر است.
برای محاسبه ی مرکز سختی توسط نرم افزار ایتبس باید به کف طبقات دیافراگم صلب اختصاص دهیم. برای این کار، کل کف های سازه را انتخاب می کنیم و از مسیر زیر دیافراگم صلب را به کف طبقات اختصاص می دهیم :
Assign>Shell>Diaphragm
با اختصاص دیافراگم، محل تقریبی مرکز جرم در هر طبقه قابل مشاهده است.
قبل از تحلیل سازه، باید به نرم افزار بگوییم که مرکز سختی را برای ما محاسبه کند، برای این منظور از مسیر زیر، محاسبه ی مرکز سختی را فعال می کنیم:
Analyze>Set Load Cases To Run
در پنجره ی باز شده، تیک گزینه ی Calculate Diaphragm Centers of Rigidity را فعال می کنیم.
پس از تحلیل سازه، از طریق مسیر زیر، مرکز جرم و مرکز سختی را سازه را برداشت می کنیم :
Display>Show Tables>Structure Output>Other Output Items>Table: Centers Of Mass And Rigidity
Xcr و Ycr: مختصات مرکز سختی
Xcm و Ycm: مختصات مرکز جرم
Story5 خرپشته میباشد که با توجه به ابعاد و اندازه آن، مرکز جرم و مرکز سختی در این طبقه با سایر طبقات متفاوت میباشد.
مثال هایی جهت درک بهتر مرکز جرم و مرکز سختی
سازه بتنی طبق شکل زیر مدل شده است. بارگذاری سازه مطابق استاندارد 2800 ویرایش چهارم و مبحث 6 ویرایش 98 انجام شده است. ابعاد تیر بتنی و ستون بتنی این سازه 50*50 و 40*40 سانتی متر با تغییر آرماتور، و دیواربرشی باضخامت 30 سانتی متر در طبقات در نظرگرفته ایم.
مخصات مرکز جرم و سختی پس از تحلیل به شکل زیر میباشد:
(Story4) را به عنوان نمونه در نظر گرفتیم و مختصات مرکز جرم و مرکز سختی را طبق شکل بالا برای این طبقه مشخص نمودیم که نقطه قرمز مرکز جرم و نقطه آبی مرکز سختی میباشد:
همان طور که انتظار میرفت به دلیل توزیع تقریبا یکسان المان ها و تقارن آن ها، مرکز جرم و مرکز سختی بسیار به هم نزدیک میباشند. به طوریکه تقریبا بر یکدیگر منطبق اند. پلان شکل بالا یک طرح بسیار خوب برای طراحی میباشد در ادامه با تغییر وضعیت دیوارهای برشی در سطح پلان، تغییرات را مشاهده خواهیم کرد. در تمامی مثال ها مختصات مرکز جرم و مرکز سختی طبقه 4 مدنظر است.
- در این مدل، دیوار آکس A و 5 را حذف می کنیم.
مختصات مرکز جرم و مرکز سختی پس از تحلیل:
همانطور که مشهود است، به دلیل حذف دیوار در آکس های A و 5 ، دیوارهای آکس D و 1 که دارای سختی زیادی هستند، مانند یک آهنربا مرکز سختی سازه را به سمت خود جذب می کنند به طوری که مرکز سختی در خارج از سطح پلان پدید می آید. پلان بالا یک طرح بسیار نامطلوب برای طراحی میباشد که میتواند پیچش بسیار شدیدی را به سازه اعمال کند.
جمع بندی
لزوم توجه به مرکز جرم و مرکز سختی بسیار مهم است. ارتباط بین مرکز سختی و مرکز جرم در سازه ها در این مقاله بررسی شد و مشاهده نمودیم که عدم تطابق مرکز جرم و مرکز سختی می تواند سبب ایجاد پیچش در سازه ها شود که این پیچش سازه را مستعد خرابی می کند.
از عوامل مهم برای تطابق و نزدیکی مرکز جرم و مرکز سختی به یکدیگر، منظم بودن پلان سازه، توزیع یکنواخت المان ها در کل پلان (اعم از ابعاد، اندازه، ضخامت ، طول) می توان نام برد. باتوجه به مثال های بررسی شده در این مقاله دریافتیم که المان هایی که سختی بیشتری داشته باشند، مثل یک آهنربا می توانند مرکز سختی را به سمت خود بکشانند.
لذا توجه به شکل کلی پلان و جانمایی صحیح اجزای سازه ای و تقارن در سیستم باربر جانبی تا حد امکان می تواند طرح نهایی را به یک طرح بدون پیچش تبدیل کند و در این صورت شاهد رفتار بسیار مطلوب از سازه در هنگام زلزله هستیم.
سبد خرید
