با پیوستن به اینستاگرام مهندس امیرطه نوروزی از هزاران دقیقه آموزش رایگان بهره مند شوید.

پیوستن به اینستاگرام

معرفی اثر P-Delta و نحوه اِعمال آن در طراحی سازه

تعداد صفحه : ۱۵

آخرین تغییرات : ۱۵ مرداد ۹۹

تعداد بازدید : ۱,۳۷۸ بازدید
بازخوردها : 1 ستاره2 ستاره3 ستاره4 ستاره5 ستاره (۱۱ votes, average: ۴٫۱۸ out of 5)
Loading...

سرفصل‌های مقاله

پیشگفتار

اِعمال نیروهای جانبی به ساختمان‌ها یکی از پیش‌فرض‌های اصلی در طراحی سازه است. همان‌طور که می‌دونیم با وارد کردن این نیروهای جانبی مانند زلزله و باد، تغییرمکان‌هایی به صورت جانبی در سازه ایجاد میشه. حضور همزمان نیروهای ثقلی (ناشی از بارمرده، بار زنده، بار برف و …) در زمان رخ‌دادن این تغییرمکان‌های جانبی حاصل از زلزله و یا باد، باعث تحمیل لنگرهای اضافه‌تری به سازه میشه که به اون اثر پی-دلتا میگیم.

در این مقاله قصد داریم ضمن معرفی فلسفه ایجاد این نیروهای اضافی ناشی از اثر پی-دلتا، به نحوه محاسبه اون با روش‌های تقریبی و دقیق بپردازیم. در نهایت هم چگونگی اِعمال این اثر در نرم افزار و نکات مربوط به اون رو شرح میدیم.

۱. مفاهیم مربوط به اثر P-Delta

۱.۱   اثر پی دلتا چیست؟

به طور کلی در آیین‌نامه‌ها اثر P-Delta رو با عنوان آثار اضافی بارها و یا آثار مرتبه دوم ازش نام می‌برن، اما این عبارات یعنی چی؟

بیایین فرض کنیم مطابق شکل زیر، یک ستون داریم که هم تحت بار محوری فشاری P قرارداره و هم تحت نیروی جانبی V قرار گرفته. ترسیم شکل تغییریافته این ستون تحت این بارها رو میشه با کمی دقت انجام داد. حتماً موافقین که ستون تحت بار جانبی میتونه تغییرشکلی به اندازه Δ داشته باشه و همچنین تحت نیروی محوری P، کمی اصطلاحاً شکم بده و نسبت به راستای اصلی خودش تغییرمکانی به اندازه  داشته باشه.

اثر پی دلتا
شکل ۱ نمایش تغییرشکل‌های یک ستون در اثر بار ثقلی و جانبی

خب تا اینجا با اتفاقی که داره در اثر اِعمال نیروهای ثقلی (P) و جانبی (V) میوفته آشنا شدیم. از اینجا به بعد قصد داریم به بررسی این موضوع بپردازیم که این اتفاق (اثر پی-دلتا) چه تاثیری روی تحلیل و طراحی سازه میذاره.

۲.۱ تقسیم‌بندی انواع اثر پی-دلتا

با توجه به مطالبی که گفته شد دیدیم که در شکل تغییریافته ستون پس از بارگذاری ثقلی و جانبی دو تغییرمکان ∆ و δ بوجود میاد. این تغییرمکان‌ها با توجه به نیروهایی که همچنان داره به سازه وارد میشه باعث ایجاد بارهای اضافی‌ای میشن  که در ادامه بیشتر در موردشون صحبت می‌کنیم.

 در مبحث دهم مقررات ملی ساختمان، اثر P-Delta به نام “آثارمرتبه دوم” نام‌گذاری شده و به اون بارهای اضافی‌ای که در اثر این اتفاق به سازه تحمیل میشه میگن “آثاراضافی بارها”. شکل زیر، بند مربوط به تعریف اثر پی-دلتا در مبحث دهم رو نشون میده.

اثر p-delta
شکل ۲ بند مرتبط با اثر پی-دلتا در مبحث دهم مقررات ملی ساختمان (ویرایش۹۲)

خب حالا بریم سراغ این مطلب که چجوری این اتفاق می‌افته؟ و بارهای اضافی چیا هستن؟

  • یادآوری:

همونطور که از درس استاتیک در خاطرتون هست، هرگاه یک نیرو با یک فاصله، نسبت به یک نقطه مبداء وارد بشه، این نیرو حول اون نقطه ایجاد لنگر میکنه. درسته؟ (مانند شکل زیر)

اثر P-delta
شکل ۳ لنگرخمشی ایجادشده در پای‌ستون (تحت اثر بار ثقلی و جانبی)

۱.۲.۱  اثر ∆-P (پی-دلتای بزرگ)

فرض کنید در شکل زیر قصد داریم لنگر واردشده در تکیه‌گاه رو بدست بیاریم، پس حتماً موافقین که در اینجا علاوه بر لنگری که نیروی جانبی V  در تکیه‌گاه بوجود میاره و مقدارش برابر VH هست، یک لنگر اضافی دیگه‌ای هم به پای این ستون وارد میشه. چه لنگری؟!

لنگری ناشی از نیروی محوری ستون یا بهتره بگیم ناشی از نیروی ثقلی(P) وارده به ستون که مقدار اون ∆P هست.

پس تا اینجای کار متوجه شدیم که تحت این تغییرمکان جانبی ایجاد شده (∆) در ستون یک لنگر اضافی‌ای به مقدار ∆P به پای ستون وارد میشه. (علاوه بر لنگر VH)

شکل ۴ نمایش لنگرخمشی اضافیِ ایجادشده تحت بار ثقلی

آیا تنها لنگر اضافی‌ای که در ستون ایجاد میشه ∆P هست؟!

۲.۲.۱   اثر P-δ (پی-دلتای کوچک)

جواب سوال بالا اینه که خیر، اگر بخواهیم کمی دقیق‌تر بررسی کنیم علاوه بر تغییرمکان جانبی ∆،کمی هم انحناء یا اصطلاحاً شکم دادگی در ستون داریم که اون رو با δ نشون میدیم. این تغییرمکان δ در واقع مقدار فاصله‌ای هست که ستونِ خم شده، نسبت به خط فرضی ستون در حالت غیرخم شده در هر نقطه از طول خودش داره. به عنوان مثال در شکل زیر δ شکم دادگی مربوط به وسط طول ستون هست. بنابراین از ضرب این تغییرمکان‌های δ در نیروی ثقلی P، لنگرهای خمشی اضافی‌ای در خود ستون بوجود میاد که دلیلش همون انحنا یا شکم‌دادگی ستون هست. (لازم این رو هم بدونید که اثر پی-دلتای کوچک یا همون P-δ معمولاً در ستون‌های لاغر (با ارتفاع زیاد) قابل توجه و بحرانی میشه)

اثر p-delta در سازه
شکل ۵ نمایش مقدار انحنای ستون در طول عضو

۳.۱   مقدار لنگرهای اضافی ایجاد شده

برای درک بهتر اینکه هر کدام از آثار اضافی (پی-دلتای کوچک و بزرگ) به چه اندازه میتونه در یک عضو لنگرخمشی رو اضافه کنه بهتره شکل زیر رو مشاهده کنید.

p-delta
شکل ۶ لنگرهای ایجاد شده در ستون، در اثر نیروی جانبی و ثقلی

همونطور که در شکل بالا مشاهده می‌کنید سهم لنگر هر قسمت به تفکیک مشخص شده و در نهایت لنگر وارده به این عضو با Mtotal نمایش داده شده است.

۴.۱   ستون‌های لاغر و چاق

بر اساس مفاهیمی که در خصوص اثر پی-دلتا ذکر شد، ما می‌تونیم ستون‌ها رو به دو دسته کلی تقسیم‌بندی کنیم:

۱.۴.۱    ستون‌های چاق

آن دسته از ستون‌هایی که با در نظرگرفتن اثرات مرتبه دوم (منظور همان لحاظ کردن اثرات پی-دلتا هست) مقدار کاهش ظرفیت‌شون (مقاومت ستون) کمتر از ۵ درصد باشه. در این ستون‌ها میشه از اثر پی-دلتا صرف‌نظر کرد.

۲.۴.۱    ستون‎‌های لاغر

آن دسته از ستون‌هایی که اثر لنگر ثانویه در اون‌ها قابل توجه باشه و در صورتی که این اثر رو در نظرنگیریم ظرفیت ستون به مقدار زیادی کاهش پیدا کنه. در این ستون‌ها بایستی اثر پی-دلتا منظور بشه.

  • نکته (ضریب لاغری λ )

برای تعیین میزان لاغری یک ستون، ضریبی رو با نام ضریب لاغری تعریف می‌کنیم که به وسیله رابطه زیر محاسبه شده و با λ نمایشش میدیم:

این ضریب در واقع نشان‌دهنده میزان کمانش‌پذیری یک ستون هست. به این معنی که هر چه مقدار این ضریب بیشتر باشه، احتمال کمانش‌ ستون بیشتر بوده و در نتیجه اثر ∆-P هم در ستون جدی‌تر خواهد بود به نحوی که:

استفاده از ستون‌های با لاغری بیشتر از ۲۰۰ مجاز نمی‌باشد. ( ۲۰۰<λ)

۲ نحوه اِعمال اثر پی-دلتا در طراحی سازه

ما به دو صورت می‌تونیم این اثر رو در طراحی سازه منظور کنیم.

  • استفاده از روش‌های تقریبی استاندارد ۲۸۰۰ با لحاظ کردن یک ضریب افزایشی
  • استفاده از روش دقیق با نرم‌افزارهای تحلیل و طراحی سازه مانند Etabs
  • نکته:

در صورتی که ضریب لاغری یک ستون بیشتر از عدد ۱۰۰ باشه، استفاده از روش تقریبی خطای زیادی داشته و نمیشه از این روش استفاده کرد. بنابراین در این گونه ستون‌ها ( ۱۰۰<λ ) حتماً بایستی با استفاده از روش نرم‌افزاری اثر پی-دلتا رو درنظرگرفت.

۱.۲    محاسبه اثر پی-دلتا با استفاده از روش تقریبی استاندارد ۲۸۰۰

همونطور که در بخش قبلی توضیح دادیم وارد شدن بار ثقلی در یک سازه که تحت بار جانبی تغییرمکان میده، میتونه نیروهایی اضافی به سازه تحمیل کنه و اسم این اثر رو گذاشتیم اثر پی-دلتا.

فرض کنید این لنگر اضافی رو با δM نشون بدیم بنابراین داریم:

∆δM=P

همونطور که از درس استاتیک به یاد دارین می‌تونیم این لنگر اضافی ایجاد شده پای ستون رو به صورت یک کوپل نیرو معادل سازی کنیم. یعنی این لنگر δM رو مطابق شکل زیر، به صورت دو نیروی برشی اضافی δV ایجاد شده در طبقه در نظربگیریم.

شکل ۷ لنگر و برش اضافی ایجاد شده در اثر تغییرمکان جانبی

بنابراین داریم:

۱.۱.۲   تعریف شاخص پایداری:

در بند ۳-۶ استاندارد ۲۸۰۰ ویرایش چهارم، رابطه‌ای با عنوان شاخص پایداری طبقه تعریف میشه که اون رو با نام θ نشون میدن.

اثر p-delta در استاندارد 2800
شکل ۸ بند مربوط به در نظرگرفتن آثار پی-دلتا در استاندارد ۲۸۰۰

اگر کمی به رابطه شاخص پایداری دقت کنیم متوجه میشیم که بسیار شبیه به رابطه‌ای هست که در بالا بدست آوردیم با این تفاوت که فقط کافیه در مخرج کسر نیروی برشی طبقه (V) رو اضافه کنیم به این صورت:

*نتیجه: بنابر رابطه فوق میشه اینطور نتیجه گرفت که، پارامتر θ نشان دهنده تغییرات برش ( δV ) نسبت به برش اولیه ( V ) هست.

همانطور که در بخش‌های قبلی نیز گفتیم برش اولیه V باعث ایجاد تغییرمکان ∆ میشه، بنابراین می‌تونیم بگیم که: برش اضافیِ δV نیز باعث ایجاد تغییرمکان اضافه‌ای به اندازه ۱ میشه. لذا داریم:

  • سوال: اما آیا تنها همین تغییرمکان اضافیِ ۱ به سازه اِعمال میشه؟
  • جواب: خیر- اضافه شدن این تغییرمکان ۱، مجدد باعث ایجاد لنگر اضافه‌تری در پای ستون میشه و درنتیجه طبق صحبتی که کردیم دومرتبه یک نیروی برشی اضافیِ جدید اضافه میشه  و به همین ترتیب این داستان ادامه داره …. یعنی داریم:

همینطور که مشاهده می‌کنید، تغییرمکان‌هایی اضافیِ جدید در اثر افزایش تغییرمکان در مرحله قبل، رخ میده و این موضوع باعث ایجاد یک سری ریاضی از تغییرمکان‌ها میشه که اگر بخواهیم مقدار تغییرمکان جانبی کلی (T ) این ستون رو بدست بیاریم داریم:

همین‌طور که در رابطه بالا مشاهده کردین حد این سری در بینهایت برابر با هست و درنتیجه تغییرمکان جانبی نهایی حاصل از نیروهای اضافی ایجاد شده برابر با  میشه.

در نهایت استاندارد ۲۸۰۰ نیز در بند ۳-۶ اشاره میکنه که به این صورت میتونید تغییرمکان افزایش یافته جانبی نسبی رو محاسبه کنید.

شکل ۹ رابطه محاسبه تغییرمکان جانبی نسبی در استاندارد ۲۸۰۰

نکته:البته لازمه این نکته رو هم بدونین که این تغییرمکان نسبی  ناشی از تحلیل خطی است و در صورتی که بخواهیم تغییرمکان واقعی (غیرخطی) نسبی طبقه رو محاسبه کنیم باید این تغییرمکان رو در ضریب بزرگنمایی تغییرمکان ( Cd ) ضرب کنیم.

( mتغییرمکان جانبی نسبی غیرخطی، تغییرمکان نسبی واقعی طبقه)

روشی که در اینجا اشاره کردیم مطابق پیوست سوم استاندارد ۲۸۰۰ هست. مطابق این پیوست برای محاسبه لنگر و برش اضافی  نیز میشه از حدِ همین سری در بینهایت استفاده کرد به این ترتیب که:

( iلنگر اولیه و برش iV اولیه وارده می‌باشد)

  • نکته:

اگر دقت کنید ضریب  یک ضریب افزایشی بوده و باعث افزایش تغییرمکان، لنگر و برش اولیه میشه. در واقع کاری که ما در این روش انجام میدیم اینه که: برای درنظرگرفتن اثر پی-دلتا، مقادیر نیروها و تغییرمکان‌ها رو در یک ضریب افزایشی ضرب میکنیم تا مقدارشون رو افزایش بدیم.

۲.۱.۲     مقدار θ در استاندارد ۲۸۰۰

استاندارد ۲۸۰۰ برای محاسبه مقدار θ رابطه زیر که برحسب مقدار  هست رو پیشنهاد کرده است. همچنین تاکید کرده که این مقدار رو به عنوان مقدار حداکثر درنظرگرفته که نبایستی از ۰.۲۵ بیشتر بشه.

بنابراین برای  (شاخص پایداری طبقه) محاسبه شده سه محدوده زیر رو خواهیم داشت:

  • اگر ۰.۱>θ آن‌گاه میتوان از اثر ∆-P صرفنظر کرد.
  • اگر آن‌گاه بایستی اثر پی-دلتا رو در محاسبه نیروها و تغییرمکان‌ها، همانند روشی که توضیح داده شد با استفاده از ضریب افزایشی  (روش تقریبی) و یا روش دقیق که در ادامه بهش اشاره می‌کنیم در نظرگرفت.
  • اگر  آن‌گاه سازه ناپایدار خواهد بود و بایستی با افزایش سختی عناصر باربرجانبی و دیگر روش‌ها سازه رو پایدار کرد.

۲.۲   استفاده از نرم‌افزار جهت درنظرگرفتن اثر پی-دلتا (روش دقیق)

همانطور که می‌دونیم همیشه در یک سازه وزن ساختمان به عنوان یکی از نیروی‌های ثقلی، به تمامی المان‌هایِ سازه از جمله ستون‌ها وارد میشه. در صورتی که سازه تحت نیروی جانبی قراربگیره و دچار تغییرمکان بشه، نیروهای ثقلی وارده به ستون‌ها میتونه باعث ایجاد آثار اضافی (تغییرمکان، لنگر و برش) بشه.

  • سوال: آیا نیروهای ثقلی وارده به ستون‌ها تنها شامل وزن ساختمان میشه؟
  • جواب: خیر- این نیروهای ثقلی شامل بارمرده (وزن المان‌ها)، بار زنده، بارزنده تیغه بندی (بارزنده پارتیشن) و بار برف میشه.

۱.۲.۲    تنظیم اثر پی-دلتا در نرم افزار Etabs

برای این‌کار بایستی پس از تعریف تمامی بارهای وارده به سازه، از منوی Define به قسمت تنظیمات پی‌دلتا وارد بشیم. (مانند تصویر زیر)

اعمال p-dellta در ETABS
شکل ۱۰ نحوه ورود به پنجره تنظیمات اثر پی-دلتا در نرم افزار Etabs

در مرحله بعدی وارد پنجره مربوط به تنظیمات پی-دلتا میشیم.

همانطور که مشاهده میشه در شکل زیر در قسمت بالای این پنجره سه تا گزینه برای انتخاب وجود داره.

اثر پی دلتا در ایتبس
شکل ۱۱ روش‌های محاسبه اثر پی-دلتا در نرم افزار (پنجره تنظیمات پی-دلتا)

None: در صورتی که بخواهیم از اثر پی-دلتا صرف‌نظر کنیم از این گزینه استفاده می‌کنیم. ( θ<0.1 )

None-iterative-Based on Mass: در صورتی که بخواهیم اثر پی-دلتا رو صرفاً برمبنای وزن اختصاص یافته به اعضاء  و بدون محاسبه روند تکراریِ پی-دلتا لحاظ کنیم، از این گزینه استفاده میشه. در واقع این روش برای زمانی کاربرد داره که شما بارهاتون رو معرفی نکرده باشین. استفاده از این گزینه سرعت تحلیل رو بالاتر میبره چرا که روند تکراری بررسی اثر پی-دلتا رو نداره ولی از دقت کافی برخوردار نیست. بنابراین توصیه میشه که پس از معرفی بارها در نرم افزار از گزینه سوم استفاده بشه.

iterative-Based on Load: در صورتی که بخواهیم اثر پی-دلتا رو بر مبنای ترکیب بارهای ثقلی (شامل بار مرده، زنده و برف) در نظربگیریم گزینه سوم رو انتخاب می‌کنیم.

۲.۲.۲    وارد کردن ترکیب‌بارها در پنجره پی-دلتا

همان طور که توضیح داده شد در صورتی که بخواهیم اثر پی-دلتا رو بر مبنای ترکیب‌بارهای ثقلی شامل بارهای مرده، زنده و برف وارد کنیم گزینه سوم در پنجره تنظیمات رو انتخاب می‌کنیم. (مانند تصویر زیر)

ترکیب بار p-delta
شکل ۱۲ واردکردن ضرایب مربوط به بارهای ثقلی (تنظیمات پی-دلتا)
  • سوال: ضرایب ترکیب بارها در پنجره تنظیمات پی-دلتا چگونه تعیین میشه؟
  • جواب: این ضرایب براساس ترکیب بار سنگین لرزه‌ای تعیین میشه.
  • نکته: (علت استفاده از ترکیب بار سنگین لرزه‌ای):

همانطور که گفته شد اثر پی-دلتا زمانی بحرانی میشه که سازه تحت یک نیروی جانبی مثل زلزله یا باد قراربگیره. بنابراین باید ترکیب باری رو انتخاب کرد که حداقل دارای یکی از نیروهای جانبی (مانند زلزله یا باد) باشه.

همچنین از دو ترکیب بار شامل بار زلزله در مبحث ششم مقررات ملی ساختمان، ترکیب باری رو انتخاب می‌کنیم که قسمت ثقلی اون از نظرعددی بیشتر باشه. بنابراین ترکیب بار سنگین لرزه‌ای انتخاب میشه.

شکل ۱۳ ترکیبات بارگذاری حالت حدی مقاومت (مبحث ششم ویرایش ۹۶)

همانطور که در تصویر بند مربوط به ترکیب بارهای حالت حدی مقاومت در  مبحث ششم (ویرایش ۹۶) مشاهده می‌کنید و همچنین با توجه به این‌که عموماً در ساختمان‌های رایج بار زلزله رو به عنوان بار جانبی در نظرمی‌گیریم، ترکیب بار شماره ۵ به عنوان ترکیب بار اثر پی-دلتا وارد میشه.

نکات مهم:

  • در سازه‌های فولادی بار مربوط به کف‌سازی (Super Dead) نیز باید با ضریب بار مرده (۱.۲) در ترکیب‌بارهای مربوط به اثر پی-دلتا لحاظ بشه.
  • بار زنده کاهش یافته (۵) نیز در این ترکیب بار بایستی با ضریب ۰.۵ وارد بشه. البته برخی از مهندسین در جهت اطمینان این ضریب رو همان عدد ۱ قرارمیدن.

جمع‌بندی:

  • بارهای ثقلی در سازه‌های دارای تغییرمکان جانبی، آثارِ نیرویی و تغییرمکانیِ اضافه‌ای رو به سازه تحمیل میکنه که بهش آثار مرتبه دوم یا اثر پی-دلتا میگیم.
  • اثر پی-دلتا یک پدیده مخرب و پیش‌رونده بوده و با توجه به بررسی شاخص پایداری طبقه، در صورت لزوم بایستی تأثیر اون در طراحی سازه لحاظ بشه.
  • به طور کلی دو روش برای درنظر گرفتن اثر پی-دلتا وجود داره:۱- استفاده از روش تقریبی استاندارد ۲۸۰۰ و ۲- استفاده از روش دقیق با نرم افزار Etabs
  • اثر پی-دلتا موجب افزایش نیروها و تغییرمکان‌ها شده که در استاندارد ۲۸۰۰ به صورت یک ضریب افزایشی و در نرم افزار به صورت دقیق محاسبه میشه.
  • درنظرگرفتن اثر پی-دلتا به خصوص در مورد اعضای لاغر، مهم و حیاتی است.

منابع

  1. مبحث ششم مقررات ملی ساختمان، ویرایش سال ۱۳۹۶.
  2. آیین‌نامه طراحی ساختمان‌ها در برابر زلزله – استاندارد ۲۸۰۰- ویرایش چهارم
  3. پایگاه دانش فنی شرکت CSI به نشانی https://wiki.csiamerica.com/
  4. مبحث دهم مقررات ملی ساختمان، ویرایش سال ۱۳۹۲.

14 دیدگاه

  1. خدا قوت مهندس ذاکری و مهندس نوروزی عزیز، بسیار کامل و جامع بود انشاله این کار خوب و بجای شما که واقعا در مباحث شما جاش خالی بود ، ادامه دار باشه ، براتون آرزوی موفقیت روز افزون دارم
  2. محتوا عالی بود. دستتون درد نکنه. فقط یه سوال داشتم: در تمامی طراحی ها باید این اثر پی دلتا در نرم افزار فعال باشه؟
    • سلام مهندس وقتتون بخیر و خوشی باشه. طبق ضوابط ویرایش 4 استاندارد 2800 در تمامی سازه ها در نظر گرفتن اثر پی دلتا هنگام تحلیل سازه الزامی می باشد.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

منو اصلی